Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求：
（1）二面角A₁-AC-B的大小；
（2）二面角A₁-BD-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A₁AC的法向量和平面ACB的法向量，由此能求出二面角A₁-AC-B的大小．
（2）求出平面A₁BD的法向量和平面 ABD的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大小．

解答： 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（0，0，a），A（0，0，0），C（a，a，0），
B（a，0，0），

AC

=（a，a，0），

AA1

=（0，0，a），

AB

=（a，0，0），
设平面A₁AC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AA1 =az=0 n • AC =ax+by=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，0），
又平面ACB的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角A₁-AC-B的平面角为α，
cosα=

| n • m |

| n |•| m |

=0，∴α=90°，
∴二面角A₁-AC-B的大小为90°．
（2）D（0，a，0），

BD

=（-a，a，0），

BA1

=（-a，0，a），
设平面A₁BD的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），
则

p • BD =-ax1+ay1=0 p • BA1 =-ax1+az1=0

，取x₁=1，得

p

=（1，1，1），
又平面 ABD的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角A₁-BD-A的大小为β，
cosβ=

| p • m |

| p |•| m |

=

1

3

=

3

3

，
∴二面角A₁-BD-A的大小为arccos

3

3

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，空间向量、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．