Question

7．对于任何正整数n，求下式
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$的和，并用数学归纳法证明你的结果．

Answer 1

分析 先计算n=1，2，3，4的结果，根据计算结果的规律进行猜想，然后使用数学归纳法证明．

解答 解：n=1时，$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{3}$，
n=2时，$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{2}{5}$，
n=3时，$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$=$\frac{3}{7}$，
n=4时，$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$=$\frac{4}{9}$，
猜想：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．
证明：（1）当n=1时，$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$，猜想成立．
（2）假设n=k（k∈N₊）时猜想成立，即有$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，
则当n=k+1时，
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k}{2k+1}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k（2k+3）+1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{{2{k^2}+3k+1}}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{（k+1）（2k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k+1}{2k+3}$
=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
所以当n=k+1时，猜想成立．
由（1）（2）可知，对一切n∈N₊猜想成立．即$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了归纳推理，数学归纳法证明，属于中档题．