Question

14．已知数列{a_n}对任意n∈N^*均满足a_n+1²=a_n•a_n+2，a₁=2，a₄=$\frac{1}{4}$，S_n为{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项a_n及S_n；
（2）设数列{b_n+a_n}是首项为-2，公差为2的等差数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的性质可得{a_n}为等比数列，运用等比数列的通项公式求得公比，再由通项公式和求和公式，即可得到所求；
（2）运用等差数列的通项公式，求得b_n+a_n=-2+2（n-1）=2n-4，即有b_n=2n-4-2^2-n，再由数列的求和方法：分组求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a_n+1²=a_n•a_n+2，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
即有数列{a_n}为等比数列，
由a₁=2，a₄=$\frac{1}{4}$，可得公比q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{8}$，
求得q=$\frac{1}{2}$，a_n=a₁q^n-1=2•2^1-n=2^2-n；
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=4-2^2-n；
（2）由数列{b_n+a_n}是首项为-2，公差为2的等差数列，
可得b_n+a_n=-2+2（n-1）=2n-4，
即有b_n=2n-4-2^2-n，
前n项和T_n=（2+4+…+2n）-4n-（2+1+…+2^2-n）
=$\frac{1}{2}$n（2+2n）-4n-4+2^2-n
=n²-3n-4+2^2-n．

点评 本题考查等比（等差）数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．