Question

19．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=$\frac{1}{2}$AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．则SN与平面CMN所成角的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A为原点建立空间直角坐标系，设AB=4，SN与平面CMN所成角为α，求出$\overrightarrow{SN}$和平面CMN的法向量$\overrightarrow{n}$，则sinα=|cos＜$\overrightarrow{SN}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 解以A为原点，以AB，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：
设AB=4，则AN=1，PA=AC=2，
∴N（1，0，0），S（2，1，0），C（0，2，0），M（2，0，1），
∴$\overrightarrow{SN}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{CM}$=（2，-2，1），$\overrightarrow{CN}$=（1，-2，0）．
设平面CMN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}$=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y+z=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，令x=2，则$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
∴$\overrightarrow{SN}•\overrightarrow{n}$=-2-1=-3，|$\overrightarrow{SN}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=3，
∴cos＜$\overrightarrow{SN}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{SN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SN}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设SN与平面CMN所成角为α，则sinα=|cos＜$\overrightarrow{SN}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α=45°．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．