Question

2．若点A，B在曲线y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$上，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最小值为2．

Answer 1

分析 设A（a，b），B（c，d），则a=±$\sqrt{{b}^{2}-2}$，c=±$\sqrt{{d}^{2}-2}$，且bd≥2．则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=ac+bd≥bd-$\sqrt{{b}^{2}-2}$$\sqrt{{d}^{2}-2}$，然后使用基本不等式求出最小值．

解答 解：设A（a，b），B（c，d）则b=$\sqrt{{a}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$，d=$\sqrt{{c}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$．∴bd≥2．
a=±$\sqrt{{b}^{2}-2}$，c=±$\sqrt{{d}^{2}-2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=ac+bd≥bd-$\sqrt{{b}^{2}-2}$$\sqrt{{d}^{2}-2}$=bd-$\sqrt{{b}^{2}{d}^{2}-2{b}^{2}-2{d}^{2}+4}$≥bd-$\sqrt{{b}^{2}{d}^{2}-4bd+4}$=bd-|bd-2|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了利用基本不等式求最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．