Question

11．如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB₁=$\sqrt{2}$，M为线段B₁D₁的中点．
（1）求证：MB⊥AC
（2）求三棱锥D₁-ACB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连接D₁O，由O、M分别是BD、B₁D₁的中点，四边形BDD₁B₁是矩形，可得四边形D₁OBM是平行四边形，得到
D₁O∥BM，再由已知证得OD₁⊥AC，则有MB⊥AC；
（2）由已知通过求解三角形证得D₁O⊥平面AB₁C，然后代入棱锥体积公式求得三棱锥D₁-ACB₁的体积．

解答 证明：（1）如图，连接D₁O，
∵O、M分别是BD、B₁D₁的中点，四边形BDD₁B₁是矩形
∴四边形D₁OBM是平行四边形，
∴D₁O∥MB．
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的正方形，
可得AD₁=D₁C，
又O为AC中点，可得OD₁⊥AC，
∴MB⊥AC；
解：（2）连接OB₁，
∵正方形ABCD的边长为2，$B{B}_{1}=\sqrt{2}$，
∴${B}_{1}{D}_{1}=2\sqrt{2}$，OB₁=2，D₁O=2，
则$O{{B}_{1}}^{2}+{D}_{1}{O}^{2}={B}_{1}{{D}_{1}}^{2}$，
∴OB₁⊥D₁O．
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，
又AC∩OB₁=O，
∴D₁O⊥平面AB₁C．
∴${V}_{{D}_{1}-AC{B}_{1}}=\frac{1}{3}{D}_{1}O•{S}_{△AC{B}_{1}}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．