Question

设f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，3）是增函数，则k的取值范围是（　　）

A．k＜0

B．0＜k≤1

C．k≥1

D．k≤1

Answer 1

f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，3）上是增函数，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在区间（0，3）上恒成立
当k=0时，f'（x）=-6＜0，显然不成立；
当k＞0时，由于二次函数y=3kx²+6（k-1）x，开口向上，始终过原点，对称轴为x=-

6(k-1)

2×3k

=

1-k

k

，
只有当

1-k

k

≤0，才满足3kx²+6（k-1）x≥0在区间（0，3）上恒成立，解得k≥1；
当k＜0时，由于二次函数y=3kx²+6（k-1）x，开口向下，始终过原点，对称轴为x=-

6(k-1)

2×3k

=

1-k

k

，
只有当

1-k

k

≥0，且f'（3）≥0，时才满足，解得此时k≥

2

5

，显然与k＜0矛盾，故应舍去．
综上，可知k≥1
故选C．