题目内容
设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且A=60°，c=3b求：
（1）
的值
（2）
+
值．
（1）
| a |
| c |
（2）
| 1 |
| tanB |
| 1 |
| tanC |
分析：（1）利用余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，把cosA及b=
c代入，整理后即可得到a与c的比值；
（2）把所求的式子中的tanB和tanC先利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后分子利用两角和与差的正弦函数公式变形，再利用诱导公式及三角形的内角和定理化简，整理后把sinA，表示出的a2，以及c与b的比值代入即可得到结果．
| 1 |
| 3 |
（2）把所求的式子中的tanB和tanC先利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后分子利用两角和与差的正弦函数公式变形，再利用诱导公式及三角形的内角和定理化简，整理后把sinA，表示出的a2，以及c与b的比值代入即可得到结果．
解答：解：（1）∵A=60°，c=3b，
∴根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=(
c)2+c2-2•
c•c•
=
c2，
则
=
；（6分）
（2）∵A=60°，c=3b，a2=
c2，
∴
+
=
+
=
=
=
=
=
•
=
•
=
•
•
=
×
×3
=
（12分）
∴根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
则
| a |
| c |
| ||
| 3 |
（2）∵A=60°，c=3b，a2=
| 7 |
| 9 |
∴
| 1 |
| tanB |
| 1 |
| tanC |
| cosB |
| sinB |
| cosC |
| sinC |
=
| sinCcosB+cosCsinB |
| sinBsinC |
=
| sin(C+B) |
| sinBsinC |
| sin(π-A) |
| sinBsinC |
=
| sinA |
| sinBsinC |
| 1 |
| sinA |
| a2 |
| bc |
=
| 1 |
| sinA |
| ||
| bc |
=
| 1 |
| sinA |
| 7 |
| 9 |
| c |
| b |
=
| 2 | ||
|
| 7 |
| 9 |
=
14
| ||
| 9 |
点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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