Question

19．等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₃是a₂与a₆的等比中项，2a₁+3a₂=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得b_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵2a₃是a₂与a₆的等比中项，2a₁+3a₂=16．
∴$（2{a}_{3}）^{2}$=a₂a₆，即$（2{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$=${a}_{1}^{2}×{q}^{6}$，a₁（2+3q）=16，
解得a₁=q=2，
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=$lo{g}_{2}（2×{2}^{2}×…×{2}^{n}）$=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了对数的运算性质、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．