Question

13．在探究“点P₀（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式”的数学活动中，小华同学进行了如下思考，并得出以下距离公式：
（Ⅰ）①当A=0时，点P₀（x₀，y₀）到直线l：By+C=0的距离为$\frac{|{By}_{0}+C|}{\sqrt{{B}^{2}}}$；
②当B=0时，点P₀（x₀，y₀）到直线l：Ax+C=0的距离为$\frac{|{Ax}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}}}$；
③当A≠0且B≠0时，点P₀（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0的距离为$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$．
（Ⅱ）试证明当A≠0且B≠0时，点P₀（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别写出平面直角坐标系中，点到直线的距离公式即可；
（Ⅱ）根据A≠0，且B≠0时，点到直线l的距离公式是什么，分别求出即可．

解答 解：（Ⅰ）当B=0时，d=$\frac{|{Ax}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}}}$；
当A=0时，d=$\frac{|{By}_{0}+C|}{\sqrt{{B}^{2}}}$；
当A≠0，且B≠0时，d=$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$，
故答案为：$\frac{|{Ax}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}}}$；$\frac{|{By}_{0}+C|}{\sqrt{{B}^{2}}}$；$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$；
（Ⅱ）当A≠0，且B≠0时，直线l与x轴、y轴都相交，
过点P作x轴的平行线，交l与点R（x₁，y₀），作y轴的平行线交l于点S（x₀，y₂），
如图所示：

把点R的坐标代入l的方程，求出x₁=-$\frac{{By}_{0}+c}{A}$，
把点S的坐标代入l的方程，求出y₂=-$\frac{{Ax}_{0}+C}{B}$，
所以|PR|=|x₀-x₁|=|$\frac{{Ax}_{0}+{By}_{0}+C}{A}$|，
|PS|=|y₀-y₂|=|$\frac{{Ax}_{0}+{By}_{0}+C}{B}$|，
|RS|=$\sqrt{{|PR|}^{2}{+|PS|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}{|A•B|}$•|Ax₀+By₀+C|；
由三角形的面积公式，得d•|RS|=|PR|•|PS|，
所以d=|PQ|=$\frac{|{Ax}_{0}+{By}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}}$．

点评 本题考查了点到直线距离公式的证明与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是综合性题目．