Question

7．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+7=0$．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x+$\sqrt{3}$y的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先展开，再根据ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.$，α为参数，即可求x+$\sqrt{3}$y的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由${ρ^2}-4\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+7=0$有${ρ^2}-4\sqrt{2}ρ×\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{cosθ+sinθ}）+7=0$，
即${ρ^2}-4\sqrt{2}ρcosθ-4\sqrt{2}ρsinθ+7=0$，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式有圆C的普通方程为：x²+y²-4x-4y+7=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.$，α为参数
∴$x+\sqrt{3}y=2+2\sqrt{3}+\sqrt{3}sinα+cosα=2+2\sqrt{3}+2sin（{α+\frac{π}{6}}）$
∴$x+\sqrt{3}y$的取值范围为$[{2\sqrt{3}，4+2\sqrt{3}}]$．

点评 本题考查极坐标方程化为普通方程，考查利用参数方程求x+$\sqrt{3}$y的取值范围，属于中档题．