Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=An²+Bn，且a₁=2，a₂=5．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=An²+Bn，且a₁=2，a₂=5，可得A+B=2，4A+2B=5，解得A，B．可得S_n，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}{n}^{2}$（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=An²+Bn，且a₁=2，a₂=5，∴A+B=2，4A+2B=5，解得A=$\frac{3}{2}$，B=$\frac{1}{2}$．∴S_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{1}{2}n$．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{1}{2}n$-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$=3n-1．n=1时也成立．∴a_n=3n-1．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}$$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{n}{6n+4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．