Question

20．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），若a₂₀₁₅=4a，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₆的值为7255．

Answer 1

分析 ①当0＜a＜2时，a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），可得a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$，…，可知：a_n+5=a_n，数列{a_n}是周期为5的周期数列．即可得出．②当2≤a时，同理可得．

解答 解：①当0＜a＜2时，a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
可得a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$，同理可得：a₄=$\frac{8}{a}$，a₅=4，a₆=a，a₇=1，…，
可知：a_n+5=a_n，数列{a_n}是周期为5的周期数列．
∴a₂₀₁₅=a₅=4=4a，解得a=1．
∴S₂₀₁₆=5（1+1+4+8+4）+1=7255．
②当2≤a时，a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1}，2\}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
可得a₃=$\frac{2max\{{a}_{2}，2\}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$≤2，同理可得：a₄=4，a₅=2a≥4，a₆=a＞2，a₇=1，…，
可知：a_n+5=a_n，数列{a_n}是周期为5的周期数列．
∴a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，舍去．
综上可得：S₂₀₁₆=7255．
故答案为：7255．

点评 本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．