Question

9．已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，a₁=-1，a₂=2，满足S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），则a₂₀₁₆=2016²-2．

Answer 1

分析 由S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-a_n-1+2（n≥2），即a_n+1=2a_n-a_n-1+2（n≥2），则（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2（n≥2），说明
数列{a_n+1-a_n}是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出数列{a_n}的通项公式得答案．

解答 解：由S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），得
S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-a_n-1+2（n≥2），
∴a_n+1=2a_n-a_n-1+2（n≥2），
则（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2（n≥2），
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2-（-1）=3为首项，以2为公差的等差数列，
则a_n+1-a_n=3+2（n-1）=2n+1，
∴a₂-a₁=2×1+1，
a₃-a₂=2×2+1，
a₄-a₃=2×3+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1，
累加得：a_n-a₁=2[1+2+3+…+（n-1）]+（n-1）=$2×\frac{n（n-1）}{2}+n-1={n}^{2}-1$，
则${a}_{n}={n}^{2}-2$，
∴${a}_{2016}=201{6}^{2}-2$．
故答案为：2016²-2．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题．