Question

17．函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，则b-c的最小值为-$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数在x∈[-1，2]上恒成立列出关于b，c的不等式组，然后利用线性规划知识求得b-c的取值范围．

解答 解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
则f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函数f（x）=x³+bx²+cx+d的区间[-1，2]上是减函数，
则f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2b-c≥3}\\{4b+c≤-12}\end{array}\right.$，
以b为横轴，c为纵轴画出可行域如图，

联立 $\left\{\begin{array}{l}{2b-c=3}\\{4b+c=-12}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以可行域上顶点为A（-$\frac{3}{2}$，-6），
令z=b-c，则c=b-z，
结合图象直线c=b-z过A时，z最小，
此时z=-6-（-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{2}$，
故答案为：-$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．