Question

10．在空间四边形ABCD中，E、F、O、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC=BD，求证：EO与FH互相垂直平分．

Answer 1

分析 由已知推导出EH$\underset{∥}{=}$FG，EF$\underset{∥}{=}$HG，由AC=BD，得四边形EFGH是菱形，由此能证明EO与FH互相垂直平分．

解答 证明：∵在空间四边形ABCD中，E、F、O、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，且FG=$\frac{1}{2}BD$，
∴EH$\underset{∥}{=}$FG，
同理，EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，且HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF$\underset{∥}{=}$HG，
∵AC=BD，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EO与FH互相垂直平分．

点评 本题考查直线与直线互相垂直平分的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的合理运用．