Question

数列{a_n}中，其前n项和记为S_n，且a₁=1，2S_n=2na_n-n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n，n＞1，验证n=1的情况，然后求出数列的通项公式．
（2）利用（1）求出前n项和，对倒数进行裂项然后求出前n项和即可．

解答：解：（1）

2Sn=2nan-n2+n 2Sn-1=2(n-1)an-1-(n-1)2+n-1(n≥2)

⇒an=nan-(n-1)an-1+1-n(n≥2)⇒（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=n-1⇒a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴{a_n}为等差数列，a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（2）Sn=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
Tn=2(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题是中档题，考查数列通项公式的求法，裂项法求和的方法的应用，考查计算能力，注意通项公式求和时n=1的验证．