Question

8．已知α、β都是锐角，且sinα=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，则cos2β=$-\frac{3713}{4225}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得 cosα、sin（α+β）的值，可得cosβ=cos[（α+β）-α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得 cos2β 的值．

解答 解：α、β都是锐角，且sinα=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{5}{13}$，
sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}$•$\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$，
∴cos2β=2cos²β-1=$-\frac{3713}{4225}$，
故答案为：$-\frac{3713}{4225}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．