Question

10．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称f（x）为“H函数”．给出下列函数：
①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{lnx（{x≥1}）}\\{0（{x＜1}）}\end{array}}$，其中“H函数”的个数有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≥0，即满足条件的函数为不减函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≥0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）．
①函数y=-x³+x+1，则y′=-2x²+1，在在[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]函数为减函数．不满足条件．
②y=3x-2（sinx-cosx），y′=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cosx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，函数单调递增，满足条件．
③y=e^x+1是定义在R上的增函数，满足条件．
④f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{lnx（{x≥1}）}\\{0（{x＜1}）}\end{array}}$，x≥1时，函数单调递增，当x＜1时，函数为常数函数，满足条件．
故选：A

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，难度中档．