Question

5．已知a∈R，函数f（x）=x²-a|x-1|．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）当a＜0时，讨论y=f（x）的图象与y=|x-a|的图象的公共点个数．

Answer 1

分析 （1）由a=1时，求得f（x）的解析式，当x≥1时，由二次函数的对称轴可知：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，根据函数的单调性f（x）≥f（1）=1；当x＜1时，f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$． 即可求得函数f（x）的最小值；
（2）当a＜0时，设h（x）=f（x）-g（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，求得函数的g（x）的解析式，分类，根据二次函数图象及性质即可求得函数的解的个数．

解答 解：（1）由a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+1，x≥1}\\{{x}^{2}+x-1，x＜1}\end{array}\right.$，
当x≥1时，由二次函数的对称轴可知：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）≥f（1）=1；
当x＜1时，由二次函数的对称轴可知：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$．
所以，f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$；
（2）当a＜0时，设h（x）=f（x）-g（x）=x²-a|x-1|-|x-a|；
a＜0时，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x+2a，x≥1}\\{{x}^{2}+（a-1）x，a≤x＜1}\\{{x}^{2}+（a+1）x-2a，x＜a}\end{array}\right.$，
x≥1时，h（1）=a＜0．
∴x≥1时，一个零点．
a≤x＜1时，解得：x₁=0，x₂=1-a＞1，（舍去）
所以，当a≤x＜1时，有且仅有一个零点．
x＜a时，△=a²+10a+1，对称轴x=-$\frac{a+1}{2}$，h（a）=a（2a-1）＞0，
所以（ⅰ）a≤-$\frac{1}{3}$时，△＞0，对称轴x=-$\frac{a+1}{2}$≥a，无零点；
（ⅱ）-$\frac{1}{3}$＜a＜-5+2$\sqrt{6}$时，△=a²+10a+1＜0，无零点；
（ⅲ）a=-5+2$\sqrt{6}$时，x=2-$\sqrt{6}$＜a=-5+2$\sqrt{6}$，一个零点；
（ⅳ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0时，
△=a²+10a+1＞0，对称轴x=-$\frac{a+1}{2}$＜a，两个零点．
综上，（ⅰ）a＜-5+2$\sqrt{6}$时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有2个；
（ⅱ）a=-5+2$\sqrt{6}$时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有3个；
（ⅲ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有4个．

点评 本题考查考查二次函数的图象及性质，考查分段函数及绝对值函数的应用，考查函数的解析式应用，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．