Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，求平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C，交A₁C于点E，则点E是A₁C及A₁C的中点，由中位线定理可得DE∥A₁B，再由线面平行的判定得答案；
（2）由已知可得∠C₁DC即为平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角的平面角，然后求解直角三角形求得平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角的正切值．

解答 （1）证明：如图，
连结A₁C，交A₁C于点E，则点E是A₁C及A₁C的中点，
连结DE，则DE∥A₁B，∵DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；

（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中是直三棱柱，
∴平面ADC⊥平面平面B₁BCC₁，
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，从而AD⊥C₁D，又AD⊥BC，
∴∠C₁DC即为平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角的平面角，
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，求得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△C₁CD中，∵C₁C=2，∴$tan∠{C_1}DC=2\sqrt{2}$．
∴平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角的正切值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．