Question

13．已知双曲线C：x²-y²=2，记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的点E、F，若△OEF的面积为2$\sqrt{2}$，则直线l的方程为（　　）

• A． y=$\sqrt{2}$x+2
• B． y=-$\sqrt{2}$x+2
• C． y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x-2
• D． y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2

Answer 1

分析 设直线方程为：y=kx+2，将直线方程代入双曲线方程，结合韦达定理求出|EF|，再利用点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离d，根据S=$\frac{1}{2}$×|EF|×d=$2\sqrt{2}$，求得k值，并验证△＞0．

解答 解：由题意得：直线l的斜率一定存在，设l：y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=2}\end{array}\right.$⇒（1-k²）x²-4kx-6=0，△=16k²+24（1-k²）=24-8k²
则$\left\{\begin{array}{l}{1{-k}^{2}≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$⇒k²＜3且k≠±1，
x₁+x₂=$\frac{4k}{1{-k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{6}{1{-k}^{2}}$，|EF|²=（1+k²）[${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂]=（1+k²）$\frac{24-{8k}^{2}}{{（1{-k}^{2}）}^{2}}$，
∵原点到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
S_△=$\frac{1}{2}$×|EF|×d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（1{+k}^{2}）\frac{24-{8k}^{2}}{{（1-k）}^{2}}}$×$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$⇒k⁴-k²-2=0，
解得k²=2或k²=-1（舍去），即k=±$\sqrt{2}$，
故所求直线方程为$\sqrt{2}$x-y+2=0或$\sqrt{2}$x+y-2=0．
即y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2，
故选：D

点评 本题考查了直线与双曲线的关系，韦达定理，点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，综合性强．解答本题一定要注意验证△＞0．