Question

已知函数f（x）=f(x)=sin(2x+

π

6

)-

1

2

．
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）求y=f（x）的单调递增区间；
（3）求y=f（x）的对称轴方程；
（4）x∈[

π

12

，

π

3

]，求方程f（x）=

1

2

的解集；
（5）x∈[

π

12

，

π

3

]，求y=f（x）的值域；
（6）解不等式f（x）＞

3

2

-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用周期公式，可得结论；
（2）利用正弦函数的单调增区间，可得y=f（x）的单调递增区间；
（3）利用正弦函数的对称轴，可得y=f（x）的对称轴方程；
（4）先求出方程f（x）=

1

2

的解集，再确定x∈[

π

12

，

π

3

]的解集；
（5）根据x∈[

π

12

，

π

3

]，确定2x+

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，即可求得函数的值域；
（6）不等式f（x）＞

3

2

-

1

2

，即sin(2x+

π

6

)＞

3

2

，由此可得结论．

解答：解：（1）T=

2π

2

=π；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
∴y=f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（3）令2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），∴x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z）；
（4）f(x)=sin(2x+

π

6

)-

1

2

=

1

2

，∴sin(2x+

π

6

)=1，∴2x+

π

6

=

π

2

+2kπ
∵x∈[

π

12

，

π

3

]，x=

π

6

，∴方程f（x）=

1

2

的解集为{

π

6

|；
（5）x∈[

π

12

，

π

3

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，∴f(x)=sin(2x+

π

6

)-

1

2

∈[0，

1

2

]，
∴y=f（x）的值域[0，

1

2

]；
（6）不等式f（x）＞

3

2

-

1

2

，即sin(2x+

π

6

)＞

3

2

∴

π

3

+2kπ＜2x+

π

6

＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）
∴

π

12

+kπ＜x＜

π

4

+kπ（k∈Z）
∴不等式的解集为{x|

π

12

+kπ＜x＜

π

4

+kπ（k∈Z）}．

点评：本题考查三角函数的性质，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．