题目内容

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）= $数学公式$ •100%（其中f（t））为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）已知2^x＞xln2对任意x＞0恒成立，现定义 $数学公式$ 为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间f∈（1，2）时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ %，且f（2）=60%
$\text{[math]}$ %=60%，可得a=4
∴f（t）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ %
f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%
（2）令学习效率指数 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ （t＞0）
现研究 $\text{[math]}$ 的单调性
$\text{[math]}$ （t＞0）
又已知x＞0时，2^x＞xln2恒成立
所以2^t-tln2＞0恒成立
∴g（t）在（0，+∞）上为增函数且g（t）为正数
∴ $\text{[math]}$ 上为减函数．
而 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故所求学习效率指数的取值范围是（ $\text{[math]}$ ）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ %，及f（2）=60%代入可求a，进而可求f（t），f（0），f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度
（2）令学习效率指数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （t＞0），利用函数的导数研究 $\text{[math]}$ 的单调性，进而可求函数g（t）在（1，2）上的值域即学习效率指数相应的取值范围．
点评：本题以新定义为载体主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性及利用单调性求解函数的值域，属于知识的简单运用．