Question

2．已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a₄a_2n-4=10²ⁿ，则数列lga₁，2lga₂，2²lga₃，2³lga₄，…，2^n-1lga_n，…的前n项和S_n等于（　　）

• A． n•2ⁿ
• B． （n-1）•2^n-1-1
• C． （n-1）•2ⁿ+1
• D． 2ⁿ+1

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q＞0，且当n≥3时，a₄a_2n-4=10²ⁿ，可得${a}_{4}^{2}{q}^{2n-8}$=10²ⁿ，化为${a}_{4}{q}^{n-4}$=10ⁿ=a_n，于是lga_n=n．利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，且当n≥3时，a₄a_2n-4=10²ⁿ，∴${a}_{4}^{2}{q}^{2n-8}$=10²ⁿ，化为${a}_{4}{q}^{n-4}$=10ⁿ=a_n，
∴lga_n=n．
∴数列lga₁，2lga₂，2²lga₃，2³lga₄，…，2^n-1lga_n，…的前n项和S_n=1+2×2+2²×3+…+n•2^n-1，
2S_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故选：C．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式、递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．