Question

6．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n=2b_n+3（n∈N^*），若{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）且λa_n＞b_n+36（n-3）+3λ对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是（$\frac{13}{18}$，+∞）．

Answer 1

分析 由{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）求得b_n，进一步得到a_n，把a_n，b_n代入λa_n＞b_n+36（n-3）+3λ，分离λ，然后求出关于n的函数的最大值得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），得${b}_{1}={S}_{1}=\frac{3}{2}（3-1）=3$，
当n≥2时，${b}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）-\frac{3}{2}（{3}^{n-1}-1）={3}^{n}$，
当n=1时，上式成立，∴${b}_{n}={3}^{n}$．
代入a_n=2b_n+3，得${a}_{n}=2•{3}^{n}+3$，
代入λa_n＞b_n+36（n-3）+3λ，得λ（a_n-3）＞b_n+36（n-3），
即2λ•3ⁿ＞3ⁿ+36（n-3），
则λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．
由$\frac{18（n-2）}{{3}^{n+1}}-\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$=$\frac{126-36n}{{3}^{n+1}}＞0$，得n≤3．
∴n=4时，$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$有最大值为$\frac{13}{18}$．
故答案为：（$\frac{13}{18}$，+∞）．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．