Question

2．如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=a，BC=$\sqrt{2}$a，M分别是AD的中点．
（1）求证B₁C₁∥平面A₁BC；
（2）求平面A₁MC与底面ABCD所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）求出平面A₁MC的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面A₁MC与底面ABCD所成二面角（锐角）的大小．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B₁（$\sqrt{2}a$，a，a），C₁（0，a，a），A₁（$\sqrt{2}a$，0，a），B（$\sqrt{2}a$，a，0），C（0，a，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}a$，0，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}a$，-a，a），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{2}a$，0，0），
设平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=\sqrt{2}ax-ay+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}ax=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=0，且B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC．
解：（2）M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，a），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，a，0），
设平面A₁MC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{M{A}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}ax+az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}ax+ay=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，1，-1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
设平面A₁MC与底面ABCD所成二面角（锐角）的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴平面A₁MC与底面ABCD所成二面角（锐角）的大小为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．