Question

12．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosA，ccosA成等差数列．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，求$|\overrightarrow{AD}|$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质可得2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理，三角形内角和定理化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求$cosA=\frac{1}{2}$，即可得解$A=\frac{π}{3}$．
（2）利用平面向量的运算，余弦定理可得${\overrightarrow{AD}^2}=|\overrightarrow{AD}{|^2}=\frac{1}{4}（9+2cb）$，进而利用基本不等式即可计算得解．

解答 解：（1）∵由题意知2bcosA=acosC+ccosA，
由正弦定理知sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，
又∵sinB≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$）=$\frac{1}{4}$（c²+b²+2cbcosA）=$\frac{1}{4}$（c²+b²+cb），
又∵由余弦定理可得：a²=c²+b²-2cbcosA=c²+b²-cb=9，
∴${\overrightarrow{AD}^2}=|\overrightarrow{AD}{|^2}=\frac{1}{4}（9+2cb）$，
∵由c²+b²-cb=9≥2cb-cb=cb，当且仅当c=b时取等号，
∴$|\overrightarrow{AD}{|^2}≤\frac{1}{4}（9+18）=\frac{27}{4}$，
∴$|\overrightarrow{AD}|$的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，三角形内角和定理，平面向量的运算，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算求解能力和转化思想，属于中档题．