Question

9．已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）若不等式g（x）＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$在（0，+∞）有解，求实数m的取值菹围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出；
（2）问题转化为m＜x-e^x$\sqrt{x}$，在（0，+∞）有解即可，构造函数，再求导，求出函数的最值，问题得以解决．

解答 解：（1）f（x）=ax+lnx的定义域为（0，+∞），
∵${f^'}（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}$
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，则y=f（x）在（0，+∞）上为单调递增，则无极值；
当a＜0时，y=f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上单调递增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减，
则$x=-\frac{1}{a}$为y=f（x）的极大值，极大值为f（-$\frac{1}{a}$）=-1-ln（-a），无极小值，
（2）由题意e^x＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$有解，即e^x$\sqrt{x}$＜x-m有解，因此只需m＜x-e^x$\sqrt{x}$，在（0，+∞）有解即可，
设h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$，
∴h′（x）=1-e^x$\sqrt{x}$-$\frac{{e}^{x}}{2\sqrt{x}}$=1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$），
∵$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$＞1，且x∈（0，+∞）时，e^x＞1，
∴1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＜0，
即h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）递减，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴m＜0，
故m的取值范围为（-∞，0）．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题，属于中档题．