Question

13．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+$f（\frac{1}{t}）$=-3，则a²+4b²的最小值是37．

Answer 1

分析 由题意可得t²+at+b+$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{a}{t}$+b=-3，t+$\frac{1}{t}$=m，|m|≥2，得到-2b=m²+am+1，代入到a²+4b²，构造函数f（a）=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
利用二次函数的性质得到f（a）_min=（m²+1）（4m²+1），再令m²=n≥4，构造函数f（n）=（n+1）（4n+1）=4n²+5n+1，根据函数的单调性即可求出
最小值．

解答 解：∵存在非零实数t，使得f（t）+$f（\frac{1}{t}）$=-3，
∴t²+at+b+$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{a}{t}$+b=-3，
设t+$\frac{1}{t}$=m，|m|≥2，
∴m²+am+2b+1=0
∴-2b=m²+am+1，
∴a²+4b²=a²+（m²+am+1）²=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
设f（a）=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
其对称轴为a=m，
∴f（a）_min=（1+m²）m²+2m²（m²+1）+（m²+1）²=（m²+1）（4m²+1），
设m²=n≥4，
则f（n）=（n+1）（4n+1）=4n²+5n+1，
当n≥4时，函数f（n）为增函数，
∴f（n）_min=4×4+4×5+1=37
∴a²+4b²≤37
故答案为：37

点评 本题考查了“换元法”、基本不等式的性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．