Question

7．抛物线y²=4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的坐标为（4，0）．

Answer 1

分析 设抛物线C上两个动点A、B的坐标，由|AF|+BF|=6结合焦半径可得AB的中点的坐标，把A、B的坐标代入抛物线方程，用点差法求得AB的斜率，则AB的垂直平分线方程可求，取y=0可得M点坐标．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式作差得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即AB的斜率为$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
由|AF|+BF|=6，则x₁+x₂+2=6，
∴x₁+x₂=4．
∴AB的中点坐标为（2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
AB的垂直平分线的斜率为-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∴AB的垂直平分线方程为y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-2），
当y=0，则x=4．
∴点M的坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查利用“点差法”求直线的斜率，中点坐标公式及两条直线垂直的斜率之间的关系，考查计算能力，属于中档题．