Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{a{e^x}}}{x^2}$（a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$-lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，问题转化为即y=e^x和y=$\frac{x}{a}$在（0，2）有2个交点，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴∴f（x）在（0，2）递减，在（-∞，0），（2，+∞）递增；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{2}{x}$-lnx=$\frac{{a{e^x}}}{x^2}$-$\frac{2}{x}$-lnx，x∈（0，2），
g′（x）=$\frac{（x-2）（{ae}^{x}-x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，2），
若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，
则h（x）=ae^x-x在（0，2）有2个实数根，
即e^x=$\frac{x}{a}$在（0，2）有2个实数根，
即y=e^x和y=$\frac{x}{a}$在（0，2）有2个交点，
如图示：，
由e²=$\frac{2}{a}$，解得：a=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，
则a＞$\frac{2}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．