已知曲线C1的方程为x2+y2=1.过平面上一点P1作C1的两条切线.切点分别为A1.B1.且满足∠A1P1B1=$\frac{π}{3}$.记P1的轨迹为C2.过一点P2作C2的两条切线.切点分别为A2.B2满足∠A2P2B2=$\frac{π}{3}$.记P2的轨迹为C3.按上述规律一直进行下去-.记an=|AnAn+1|max且Sn为数列{$\frac{1}{{a} {n}}$}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知曲线C₁的方程为x²+y²=1，过平面上一点P₁作C₁的两条切线，切点分别为A₁、B₁，且满足∠A₁P₁B₁=$\frac{π}{3}$，记P₁的轨迹为C₂，过一点P₂作C₂的两条切线，切点分别为A₂，B₂满足∠A₂P₂B₂=$\frac{π}{3}$，记P₂的轨迹为C₃，按上述规律一直进行下去…，记a_n=|A_nA_n+1|_max且S_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和，则满足|S_n-$\frac{2}{3}$|＜$\frac{1}{100}$的最小的n是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析设P₁（x，y），则|OP₁|=2|OA₁|=2，可得方程C₂：x²+y²=4．同理可得P₂的方程C₃为：x²+y²=16．设A₁（cosθ，sinθ），A₂（2cosα，2sinα），可得|A₁A₂|=$\sqrt{5-4cos（α-θ）}≤3=1+2$，同理可得：a_n=|A_nA_n+1|_max=2^n-1+2ⁿ．可得$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，代入|S_n-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{100}$，由此能求出n．

解答解：设P₁（x，y），则|OP₁|=2|OA₁|=2，
可得方程C₂：x²+y²=4．
同理可得P₂的方程C₃为：x²+y²=16．
设A₁（cosθ，sinθ），A₂（2cosα，2sinα）
|A₁A₂|=$\sqrt{（cosθ-2cosα）^{2}+（sinθ-2sinα）^{2}}$
=$\sqrt{5-4cos（α-θ）}$≤3=1+2，
同理可得：a_n=|A_nA_n+1|_max=2^n-1+2ⁿ．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+{2}^{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．
数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{3}$×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
则满足|S_n-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{100}$，解得n≥7．
故选：C．