Question

7．数列{a_n}满足：a₁=a，对任意n∈N^*有a_n+1=-a_n+2n+1成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为a_n，若对任意的n∈N^*存在m∈N^*，使得S_n=a_m成立，则称数列{a_n}为“s-a”型数列．已知a₁=a为偶数，试探求a的一切可能值，使得数列{a_n}是“s-a”型数列．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，${a_{n+2}}-{a_n}=2，n∈{N^*}$，分别求得当n为奇数或偶数时，求得a_n，即可求得${a_n}=\left\{\begin{array}{l}n+a-1，n为奇数\\ n+1-a，n为偶数\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，分类，根据等差数列前n项和公式，分别求得S_n；
（3）由题意可知，对于a_n当n为奇数时，a_n为偶数，n为偶数时，a_n为奇数，当n=4k-1，n=4k-3，n=4k及n=4k-2时，求得a的取值范围，综上即可求得a的值，使得数列{a_n}是“s-a”型数列．

解答 解：（1）a_n+1+a_n=2n+1①，
∴a_n+2+a_n+1=2n+3②
②-①得：${a_{n+2}}-{a_n}=2，n∈{N^*}$…（2分）
∴a_2k-1=a₁+（k-1）×2=2k+a-2…（3分）
∵a₁+a₂=3，
∴a₂=3-a₁=3-a，
∴a_2k=a₂+（k-1）×2=2k+1-a…（4分）
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}n+a-1，n为奇数\\ n+1-a，n为偶数\end{array}\right.$…（5分）
（2）当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），
=a+（2×2+1）+（2×4+1）+…+[2×（n-1）+1]，
=$a+\frac{{\frac{n-1}{2}}}{2}（5+2n-1）=a+\frac{（n-1）（n+2）}{2}$…（7分）
当n为偶数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），
=$（2×1+1）+（2×3+1）+…+[2×（n-1）+1]=\frac{{\frac{n}{2}}}{2}（3+2n-1）=\frac{n（n+1）}{2}$…（9分）
∴${S_n}=\left\{\begin{array}{l}a+\frac{（n-1）（n+2）}{2}，n为奇数\\ \frac{n（n+1）}{2}，n为偶数\end{array}\right.$…（10分）
（3）∵a为偶数，
∴对于a_n当n为奇数时，a_n为偶数，n为偶数时，a_n为奇数…（11分）
i）当n=4k-1（k∈N^*）时，${S_n}=a+\frac{（4k-2）（4k+1）}{2}=a+（2k-1）（4k+1）$为奇数，取m为偶数，a_m为奇数，
则由a_m=S_n得m+1-a=a+8k²-2k-1，
∴m=8k²-2k+2a-2且由8k²-2k+2a-2≥4+2a，
∴2a+4≥2，
∴a≥-1…（12分）
ii）当n=4k-3（k∈N^*）时，S_n=a+2（k-）（4k-1）为偶数，取m为奇数，
则a_m为偶数，由a_m=S_n得m=1+2（k-1）（4k-1）≥1…（13分）
ⅲ）n=4k（k∈N^*）时，S_n=2k（4k+1）为偶数，取m为奇数，由a_m=S_n得m=8k²+2k+1-a，
∵8k²+2k+1-a≥11-a≥1，
∴a≤10…（14分）
ⅳ）当n=4k-2（k∈N^*）时，S_n=（2k-1）（4k-1）为奇数，取m为偶数，则由a_m=S_n得m=8k²-6k+a，
∵8k²-6k+a≥2+a≥2，
∴a≥0…（15分）
∴a=0，2，4，6，8，10时，数列{a_n}为“s-a”型数列，否则数列{a_n}不是“s-a”型数列．…（16分）

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和公式的应用，考查分类讨论思想，考查数列的新定义，考查数列不等式恒成立问题的解法，属于难题．