Question

11．若直线3x-4y+5=0与圆x²+y²=r²（r＞0）相交于A、B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则圆的面积为4π．

Answer 1

分析 若直线3x-4y+5=0与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离d=$\frac{1}{2}$r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．

解答 解：若直线3x-4y+5=0与圆x²+y²=r²（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离d=rcos60°=$\frac{1}{2}$r，
即$\frac{5}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{1}{2}$r，
解得r=2，
∴圆的面积为4π．
故答案为：4π．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离d=$\frac{1}{2}$r是解答的关键．