Question

1．已知椭圆C的普通方程为：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅰ） 设y=2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；
（Ⅱ） 设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）

Answer 1

分析 （Ⅰ）将y=2t代入椭圆的普通方程得${x^2}=9（1-\frac{{4{t^2}}}{4}）=9（1-{t^2}）$，解出即可得到参数方程．
（Ⅱ）依题意知点A（3，0），B（0，2），设点P的坐标为（3cosθ，2sinθ），$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，则S_{四边形AOBP}=S_△BPO+S_△OPA，利用三角函数和差公式及其单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）将y=2t代入椭圆的普通方程得${x^2}=9（1-\frac{{4{t^2}}}{4}）=9（1-{t^2}）$，
于是得$x=±3\sqrt{1-{t^2}}$，
∴椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{1-{t^2}}\\ y=2t.\end{array}\right.$（t为参数）和$\left\{\begin{array}{l}x=-3\sqrt{1-{t^2}}\\ y=2t.\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅱ）依题意知点A（3，0），B（0，2），
设点P的坐标为（3cosθ，2sinθ），$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，
则S_{四边形AOBP}=S_△BPO+S_△OPA=$\frac{1}{2}×2×3cosθ+\frac{1}{2}×3×2sinθ$=$3sinθ+3cosθ=3\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，
当$sin（θ+\frac{π}{4}）=1$，即$θ=\frac{π}{4}$时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为$3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程及其应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．