Question

10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b-a）•cosC=c•cosA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设y=-4$\sqrt{3}$sin²$\frac{A}{2}$+2sin（C-B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （I）由（2b-a）•cosC=c•cosA，由正弦定理可得：（2sinB-sinA）•cosC=sinC•cosA，利用和差关系化简可得：cosC=$\frac{1}{2}$，即可得出C．
（II）利用倍角公式、和差公式可得：y=2$sin（A+\frac{π}{3}）$-2$\sqrt{3}$，再利用三角函数的单调性及其最值可得A，再利用三角形内角和定理即可得出．

解答 解：（I）∵（2b-a）•cosC=c•cosA，
由正弦定理可得：（2sinB-sinA）•cosC=sinC•cosA，
化为：2sinB•cosC=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）y=-4$\sqrt{3}$sin²$\frac{A}{2}$+2sin（C-B）=$2\sqrt{3}$（1-cosA）+2sin$（A-\frac{π}{3}）$=sinA+$\sqrt{3}$cosA-2$\sqrt{3}$=2$sin（A+\frac{π}{3}）$-2$\sqrt{3}$，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（A+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{π}{3}，π）$，
∴当A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{6}$时，y确定最大值2-2$\sqrt{3}$，此时B=$\frac{π}{2}$，
因此△ABC为直角三角形．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性值域、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．