Question

13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则曲线f（x）在（0，f（0））处在的切线方程为6$\sqrt{3}$x+2y-3=0．

Answer 1

分析 由图象可得A，T，ω=2，将（$\frac{π}{3}$，-3）代入f（x）=3sin（2x+φ），求得φ．再求f（x）的导数，可得切线的斜率和切点．运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程．

解答 解：由图象可知A=3，$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，
可得T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，
将（$\frac{π}{3}$，-3）代入f（x）=3sin（2x+φ），可得：
-3=3sin（$\frac{2π}{3}$+φ），
即有$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得φ=$\frac{5π}{6}$，
则f（x）=3sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
导数f′（x）=6cos（2x+$\frac{5π}{6}$），
在（0，f（0））处在的切线斜率为f′（0）=6cos$\frac{5π}{6}$=-3$\sqrt{3}$，
f（0）=3sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{3}{2}$，
则f（x）在（0，f（0））处在的切线方程为y-$\frac{3}{2}$=-3$\sqrt{3}$（x-0），
即为6$\sqrt{3}$x+2y-3=0．
故答案为：6$\sqrt{3}$x+2y-3=0．

点评 本题考查三角函数的图象和解析式的求法，以及导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．