Question

14．已知三棱锥P-ABC的体积为$\frac{1}{2}$，且PA⊥AB，PC⊥BC，∠ABC=120°，BA=BC=1，若此棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为16π．

Answer 1

分析 求出△ABC的外接圆的半径，BC，设球O的半径为R，O到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R²=1²+d²=1²+（2$\sqrt{3}$-d）²，求出d，R，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
设P到平面ABC的距离为h，则
∵三棱锥P-ABC的体积为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}h$=$\frac{1}{2}$，
∴h=2$\sqrt{3}$．
由余弦定理可得AC=$\sqrt{1+1-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
设△ABC的外接圆的半径为r，则2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，∴r=1．
设球O的半径为R，O到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R²=1²+d²=1²+（2$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\sqrt{3}$，R=2，
∴球O的表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了正弦定理、余弦定理、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．