Question

18．函数f（x）=$\frac{{a•{2^x}+b}}{{{2^x}+1}}$是R上的奇函数，且f（1）=$\frac{1}{3}$，
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，函数值列出方程，即可求出a，b．
（2）直接利用函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）为R上奇函数，∴f（0）=0，
即a=-b①
∵$f（1）=\frac{2a+b}{3}=\frac{1}{3}$，
∴2a+b=1，②
结合①②有   a=1，b=-1…（6分）
（2）由（1）得$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
设x₁＜x₂则${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}，f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_2}}+1）（{2^{x_1}}+1）}}＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为单调递增函数．   …（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性以及单调性的判断与应用，考查函数与方程的思想，是基础题．