Question

11．设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若$\overrightarrow{AO}={λ_1}\overrightarrow{AB}+{λ_2}\overrightarrow{AC}$，则（　　）

• A． $\frac{λ_1}{λ_2}=\frac{b}{c}$
• B． $\frac{λ_1^2}{λ_2^2}=\frac{b}{c}$
• C． $\frac{λ_1}{λ_2}=\frac{c^2}{b^2}$
• D． $\frac{λ_1^2}{λ_2^2}=\frac{c}{b}$

Answer 1

分析 利用O为△ABC内角平分线的交点，则有a×$\overrightarrow{OA}$+b×$\overrightarrow{OB}$+c×$\overrightarrow{OC}$=0，再利再利用三角形中向量之间的关系，将等式变形为$\overrightarrow{AO}$=$\frac{b}{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$$\overrightarrow{AC}$，利用平面向量基本定理即可解．

解答 解：设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，
则a×$\overrightarrow{OA}$+b×$\overrightarrow{OB}$+c×$\overrightarrow{OC}$=0，
∴a×$\overrightarrow{OA}$+b×（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$）+c×（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$）=0，
∴（a+b+c）$\overrightarrow{AO}$=b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{b}{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AO}={λ_1}\overrightarrow{AB}+{λ_2}\overrightarrow{AC}$，
∴λ₁=$\frac{b}{a+b+c}$，λ₂=$\frac{c}{a+b+c}$，
∴$\frac{{λ}_{1}}{{λ}_{2}}$=$\frac{b}{c}$
故选：A

点评 本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．