Question

12．已知直线l：y=2x+m与圆O：x²+y²=1相交于A，B两个不同的点，且A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．
（1）当△AOB面积最大时，求m的取值，并求出|AB|的长度．
（2）判断sin（α+β）是否为定值；若是，求出定值的大小；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当△AOB面积最大时，OA⊥OB，即可求m的取值，并求出|AB|的长度．
（2）把直线方程和圆的方程联立后，分别消去x和y得到关于y和x的方程，利用根与系数关系得到α，β的余弦和正弦的积，然后利用和角的三角函数求值．

解答 解：（1）∵${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|sin∠AOB$
∴当△AOB面积最大时，OA⊥OB…（2分）
得O到AB的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；由d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得m=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$…（4分）
此时|AB|=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$；…（6分）
（2）联立直线y=2x+m和圆O：x²+y²=1消元得：5x²+4mx+m²-1=0，5y²-2my+m²-4=0，
于是x₁x₂=cosαcosβ=$\frac{{m}^{2}-1}{5}$，y₁y₂=sinαsinβ=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$．
所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{{m}^{2}-1}{5}$-$\frac{{m}^{2}-4}{5}$=$\frac{3}{5}$，
由题意可知π＜α+β＜2π．
从而sin（α+β）=-$\frac{4}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是中档题．