Question

20．从装有3只红球，2只白球和2只黑球的袋中逐一取球，已知每只球披抽取的可能性相同．
（1）若抽取后又放回，抽3次．
①求恰有2次为红球的概率；
②求抽到红球次数X的数学期望；
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为Y，求Y的分布列及数学期望E（Y）．

Answer 1

分析 （1）①若抽取后又放回，求出抽取一次取到红球的概率，计算抽取3次恰有2次取到红球的概率值；②由题设知X～B（3，$\frac{2}{7}$），计算EX即可；
（2）写出Y的可能取值，计算对应的概率值，写出Y的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）①若抽取后又放回，抽取一次取到红球的概率为$\frac{2}{7}$，
∴抽取3次恰好有2次取到红球的概率为：
P=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{7}）}^{2}$•（1-$\frac{2}{7}$）=$\frac{60}{343}$；
②由题设知X～B（3，$\frac{2}{7}$），EX=3×$\frac{2}{7}$=$\frac{6}{7}$
（2）Y的可能取值为3，4，5，6，7；
则P（Y=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（Y=4）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{2}{•A}_{3}^{3}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{3}{35}$，
P（Y=5）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{3}^{2}{•A}_{4}^{4}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{5}}$=$\frac{6}{35}$，
P（Y=6）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{3}^{2}{•A}_{5}^{5}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{6}}$=$\frac{2}{7}$，
P（Y=7）=$\frac{{C}_{4}^{4}{•C}_{3}^{2}{•A}_{6}^{6}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{7}}$=$\frac{3}{7}$；
∴Y的分布列为：

Y	3	4	5	6	7
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{3}{7}$

Y的数学期望是E（Y）=3×$\frac{1}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{6}{35}$+6×$\frac{2}{7}$+7×$\frac{3}{7}$=6．

点评 本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题目．