Question

9．定义在（0，+∞）上的函数f（x），总有f′（x）＞f（x）+ex-lnx成立，且f（2）=e²-2，则不等式f（x）≥e^x-2的解集为[2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意构造辅助函数g（x）=ex-lnx-2，求导，g′（x）＜0，函数单调递减，g′（x）＞0，函数单调递增，求得g（x）的最小值，再构造辅助函数h（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{x}}$，求导，求得h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上递增，即f（x）≥e^x-2，由f（2）=e²-2，得h（x）≥h（2），即可求得不等式的解集．

解答 解：令g（x）=ex-lnx-2，则g′（x）=e-$\frac{1}{x}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）时，g′（x）＜0；g（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
∴x∈（0，+∞）时，g（x）≥g（$\frac{1}{e}$）=0，
再令h（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{x}}$，则h′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）-2}{{e}^{x}}$＞$\frac{ex-lnx-2}{{e}^{x}}$=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上递增，
∴f（x）≥e^x-2，即$\frac{f（x）+2}{{e}^{x}}$≥1，h（x）≥h（2），
∴x≥2，
∴解集为：[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数与函数的单调性和最值之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．