Question

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b²+c²）=3a²+2bc．
（1）求sinA；
（2）若a=$\frac{3}{2}$，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且b＞c，求b，c．

Answer 1

分析 （1）整理已知可得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，利用余弦定理可求cosA，结合A的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理可得：${（\frac{3}{2}）^2}$=b²+c²-1，结合b＞c＞0，联立即可解得b，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵3（b²+c²）=3a²+2bc，
∴整理可得：$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
 又∴A是三角形内角，A∈（0，π），
∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．…（6分）
（2）∵S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴bc=$\frac{3}{2}$，①
∵a=$\frac{3}{2}$，cosA=$\frac{1}{3}$，
∴由余弦定理可得：${（\frac{3}{2}）^2}$=b²+c²-2×$bc×\frac{1}{3}$=b²+c²-1．②
∵b＞c＞0，
∴联立①②可得b=$\frac{3}{2}$，c=1．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．