Question

18．如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，AB=9，BC=6，EF∥平面ABCD，EF=3，△ADE和△BCF都是正三角形，求几何体EFABCD的体积．

Answer 1

分析 过F，E做与平面ABCD垂直的平面，这个平面把几何体分割成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到结果．

解答 解分别过E，F作平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，交线分别为MP，NQ．
∵△ADE和△BCF都是正三角形，AD=BC，∴AE=BF．
∵EF∥平面ABCD，∴EF∥AB∥CD．
∴四边形ABFE，CDEF是等腰梯形．
∴CQ=NB=DP=AM=$\frac{1}{2}$（AB-EF）=3，FN=FQ=$\sqrt{F{B}^{2}-N{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
过F作FO⊥NQ于O，则FO⊥平面ABCD．且O为NQ的中点．
∴FO=$\sqrt{F{N}^{2}-N{O}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴V_E-ADPM=V_F-BCQN=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BCQN}•FO$=$\frac{1}{3}×3×6×3\sqrt{2}$=18$\sqrt{2}$．
V_EMP-FNQ=S_△FNQ•EF=$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{2}×3$=27$\sqrt{2}$．
∴几何体EFABCD的体积V=V_EMP-FNQ+V_E-ADPM+V_F-BCQN=63$\sqrt{2}$．

点评 题考查不规则几何体的体积求法，通常将几何体分解成规则几何体计算体积．