Question

19．已知直线l₁：y=2x，直线l：y=3x+3．求l₁关于l对称的直线l₂的方程．

Answer 1

分析 方法一：联立方程组，求出交点坐标，求出O（0，0）关于直线y=3x+3的对称点为M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$），求出l₂的方程即可；
方法二：设出点P关于直线l：y=3x+3的对称点为P₁（x₁，y₁），由P₁P⊥l，且PP₁的中点在l上，解出x₁，y₁，根据y₁=2x₁，代入整理即可．

解答 解：方法一：由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=3x+3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴l₁与l的交点为P（-3，-6），且此点在所求直线l₂上．
在直线y=2x上取点O（0，0），它关于直线y=3x+3的对称点为M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$），
由两点式可得l₂的方程为11x-2y+21=0．
方法二：设P（x，y）是直线l₂上任一点，
点P关于直线l：y=3x+3的对称点为P₁（x₁，y₁），
由P₁P⊥l，且PP₁的中点在l上得：
$\frac{y{-y}_{1}}{x{-x}_{1}}$=-$\frac{1}{3}$，$\frac{y{+y}_{1}}{2}$=3$•\frac{x{+x}_{1}}{2}$+3，
解得x₁=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{3}{5}$y-$\frac{9}{5}$，
y₁=$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$y+$\frac{3}{5}$．
∵P₁（x₁，y₁）在直线l₁上，即y₁=2x₁，
∴$\frac{3}{5}$x+$\frac{4}{5}$y+$\frac{3}{5}$=2（-$\frac{4}{5}$x+$\frac{3}{5}$y-$\frac{9}{5}$），
整理得11x-2y+21=0．
∴l₂的方程为11x-2y+21=0．

点评 本题考查了关于直线的对称问题，考查直线垂直时斜率的关系，是一道中档题．