Question

6．设函数f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．

Answer 1

分析 （1）利用导数求得函数的单调区间即可；
（2）利用导数的几何意义，求得曲线的切线斜率，写出切线方程，即可得证

解答 （1）解：当a=1时，f（x）=x²+x-lnx$⇒{f^'}（x）=2x+1-\frac{1}{x}=\frac{（2x-1）（x+1）}{x}（x＞0）$
由${f^'}（x）＞0⇒x＞\frac{1}{2}$；${f^'}（x）＜0⇒0＜x＜\frac{1}{2}$；
所以f（x）的递减区间为$（0，\frac{1}{2}）$，递减区间为$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）证明：设切点为M（t，f（t）），则由切线过原点有切线斜率为$k=\frac{f（t）}{t}$
又由${f^'}（x）=2x+a-\frac{1}{x}⇒$切线斜率为$k=2t+a-\frac{1}{t}$，所以$\frac{f（t）}{t}=2t+a-\frac{1}{t}$
即t²+at-lnt=2t²+at-1⇒t²-1+lnt=0
所以t=1是方程t²-1+lnt=0的根
再证唯一性：设φ（t）=t²-1+lnt，${φ^'}（t）=2t+\frac{1}{t}＞0$，φ（t）在（0，+∞）上单调递增，且φ（1）=0，
所以方程t²-1+lnt=0有唯一解
综上，切点的横坐标为1．

点评 本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，属中档题．