Question

设{a}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=

1

4

（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于数列{b_n}，令b_n=

1

sn

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

分析：（1）由题设条件得a₁=3，an=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)+2(an-an-1)，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知S_n=n（n+2），所以bn=

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，再用裂项求和法求出数列{b_n}的前n项和T_n，由此能求出

lim

n→∞

T_n．

解答：解：（1）由a₁=S₁=

1

4

(a1-1)(a1+3)，及a_n＞0，得a₁=3
由Sn=

1

4

(an-1)(an+3)得Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)．
∴当n≥2时，an=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)+2(an-an-1)
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1
（2）由（1）知S_n=n（n+2）∴bn=

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
 =

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

∴

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

[

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

]=

3

4

(13分)
由

an+bn

2

＜0，得a1+(b1-a1)•(

1

2

)n＜0
得

a1+b1

2n

＜-a，得

b1-a1

-a1

＜2n
∴log2

a1-b1

a1

＜n
因而n满足log2

a1-b1

a1

＜n的最小整数（14分）

点评：本题考查数列的极限和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和的灵活运用．