Question

3．已知函数f₁（x）=x，f₂（x）=e^x，f₃（x）=lnx．
（1）设函数h（x）=mf₁（x）-f₃（x），若h（x）在区间（$\frac{1}{2}$，2]上单调，求实数m的取值范围；
（2）求证：?x∈（0，+∞），f₂（x）＞f₃（x）+2f₁'（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为$m≥\frac{1}{x}$在$（{\frac{1}{2}，2}]$上恒成立，求出m的范围即可；
（2）设$g（x）={f_2}（x）-{f_3}（x）-2{f_1}'（x）={e^x}-lnx-2$，求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（x）的最小值，从而证出结论．

解答 解：（1）由题意得h（x）=mx-lnx，
∴$h'（x）=m-\frac{1}{x}$，∵$\frac{1}{2}＜x≤2$，∴$\frac{1}{2}≤\frac{1}{x}＜2$，
若函数h（x）在区间$（{\frac{1}{2}，2}]$上单调递增，
则h'（x）≥0在$（{\frac{1}{2}，2}]$上恒成立，
即$m≥\frac{1}{x}$在$（{\frac{1}{2}，2}]$上恒成立，
所以m≥2，
综上，实数m的取值范围为$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{2，+∞}）$．
（2）证明：设$g（x）={f_2}（x）-{f_3}（x）-2{f_1}'（x）={e^x}-lnx-2$，
则$g'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，
设$φ（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，则$φ'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，
∴$φ（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调递增，
由$φ（{\frac{1}{2}}）＜0，φ（1）＞0$得，存在唯一${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$，使得$φ（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，
所以在（0，x₀）上有φ（x）＜φ（x₀）=0，
在（x₀，+∞）上有φ（x）＞φ（x₀）=0，
所以g（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}-ln\frac{1}{{{e^{x_0}}}}-2={x_0}+\frac{1}{x_0}-2＞0$，
所以g（x）＞0，?x∈（0，+∞），f₂（x）＞f₃（x）+2f₁'（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．